Статистика - Опря А.Т. - § 1.7. Перевірка гіпотез про істотність різниць між дисперсіями по F - критерію

Використання ряду критеріїв у статистичному аналізі вибіркових сукупностей ґрунтується на припущенні про рівність дисперсій порівнювальних рядів розподілів. У деяких випадках виникає необхідність обчислення оцінок різниці між дисперсіями у вибірках. При цьому істотність різниці визначають, вивчаючи або ступінь варіювання однієї і тієї ж ознаки в кількох сукупностях, або -різних ознак в одній і тій же сукупності. На оцінці різниць дисперсій побудований метод дисперсійного аналізу - один із ефективних статистико - математичних прийомів кількісного вивчення видів причинно - наслідкових залежностей.

Як відомо, перевірка статистичних гіпотез відносно середніх при нерівності дисперсій потребує оцінки істотності різниць дисперсій. Тут необхідно пам'ятати, якщо відома природа явищ, які вивчаються, і дослідник завідомо знає, що дисперсії не рівні, то оцінка значимості різниці дисперсій не має сенсу, оскільки будь - яка найменша різниця розглядається як істотна.

Оцінку істотності різниць між дисперсіями здійснюють у тих випадках, коли припускають про рівність дисперсій, у той час як інформація вибірок свідчить про велику різницю в їх величині. Наприклад, в рядах розподілу спостерігається зміщення центра розподілу частот або відрізняється сам характер розсіювання.

Перевірка статистичних гіпотез про рівність дисперсій має велике практичне значення, особливо при вирішенні технічних завдань. Це стосується випадків, коли йдеться про точність роботи приладів, машин, обладнання, про чіткість технологічних процесів і т.д. Тут показником обчисленої дисперсії вимірюється величина розсіювання.

Перевірка гіпотези про рівність дисперсій знаходить широке застосування в біологічних дослідженнях. Здійснюються практичні кроки використання подібних розрахунків і в галузі аграрно -економічних досліджень.

Перевіряється гіпотеза про рівність дисперсій за допомогою Б -критерію. Останній введений як статистична оцінка англійським вченим Р.Фішером і являє собою відношення двох вибіркових дисперсій о- і ст₂² при відповідних ступенях вільності у₄і у₂. Саме

сг²

відношення має ВИГЛЯД е = -2.

Оскільки в різних вибірках (дослідах) дисперсії можуть приймати різні наперед невідомі значення, розрахункова величина Б -критерію (е_р) є випадковою. Як уже відомо, її називають випадковою

величиною з розподілом Фішера - Снедекора. Обчислюються Б -критерій за даними вибіркових сукупностей і одержане (фактичне ) значення (е_р) порівнюється з табличним (е_г) при даному для кожної

дисперсії числі ступенів вільності варіації (у = п-1) і заданому порозі ймовірності (додаток 8,9). До речі, стандартні таблиці Б - критерію

сг²

являють собою розподіл відношень -2^в безкінечній множинні

випадкових вибірок із генеральної сукупності. У всіх випадках чисельником відношення служить більша із порівнюваних дисперсій. Із цього слідує, що Б>1. За критичну область Б - критерію приймається. е_р > е_т .

Виходячи з теоретичної концепції закону нормального розподілу, потрібно вважати малоймовірним виникнення як дуже великих, так і занадто малих відношень дисперсій. Значення величин е_р(е_т вважаються випадковими (при заданому порозі ймовірності). Якщо фактичні значення Б - критерію перевищують табличні, їх признають істотними (невипадковими).

При статистичній перевірці гіпотез про рівність дисперсій (н₀:ст² = <т2) нульова гіпотеза відхиляється, якщо е_р)е_т і приймається, коли Б е_р < е_т. В останньому випадку визначається неістотною відмінність між вибірковими дисперсіями, а це вказує на те, що генеральні сукупності, з яких взята вибірка, мають однакові статистичні характеристики.

Розглянемо послідовність перевірки статистичної гіпотези на конкретному прикладі.

Приклад. У результаті механічного 10 %- го і 20 % - го відбору підприємств з генеральної сукупності отримано дві вибірки з неоднаковою чисельністю одиниць спостереження. Для перевірки гіпотези про рівність дисперсій (тобто для оцінки істотності різниці дисперсій) показників оплати людино - дня отримані такі параметри : г= 54; и₂ = 27; о = 25,8; ст₂² = 21,4.

Сформулювати нульову гіпотезу (Я₀) і конкуруючу (Я₁) гіпотезу, маємо - Н₀ : ст² = о; Я₁ : о"₁² > сг²; а = 0,05 .

Фактичне значення Р - критерію становитиме : і = ^ = -²⁵⁸⁸ = 1,21.

^р о 21,4

Стандартне (табличне) значення Р-критерію при у = п -1 = 54 -1 = 53; у_г = 27 -1 = 26 і Р = 0,95 дорівнює (додаток 8) 1,82. Оскільки Е_р<і_г, нульова гіпотеза приймається. А це значить, що дисперсія ознаки (оплати) в меншій сукупності підприємств відрізняється незначно, тобто різниця між порівнювальними дисперсіями визнається неістотною (випадковою).

Потрібно відмітити, що у тих випадках, коли конкуруюча гіпотеза формулюється, як я₁: а ф о, критерій значимості буде двостороннім. У цьому випадку користуються таблицями стандартних значень з подвійним рівнем значимості. Так, щоб знайти г_р при 5 % -ному рівні значимості, відшукують значення Р -критерію за таблицями з 2,5 % - ним рівнем значимості.

При вибірках, які нараховують сукупності 50 одиниць і більше , перевірка гіпотези про рівність дисперсій може бути здійснена за допомогою X - критерію нормального розподілу. Зумовлено це тим, що при малому обсязі вибірки Р-критерій, утворений як відношення незалежних x² - розподілів, асиметричний. При збільшенні чисельності вибіркової сукупності розподіл x² наближається до нормального. Цілком зрозуміло, що Р- розподіл, як відношення двох нормальних в границі розподілів, також буде нормальним.

Для великих вибірок рекомендується дещо інший порядок перевірки рівності дисперсій, зокрема, через критерій X.

Розглянемо послідовність розрахунків у цьому випадку:

і = --, де т - середня із помилок вибіркових середніх квадратичних

т

відхилень.

2(п -1) 72(п2 -1)

Звідси: т=-^тгттт₁.