Статистика - Опря А.Т. - § 1.8. Перевірка гіпотез про істотність різниць дисперсій за критеріями Кохрана і Бартлета

Розглянуте вище відноситься до випадків перевірки статистичної гіпотези про рівність тільки двох дисперсій . У випадку необхідності отримання оцінки істотності ряду дисперсій (більше двох) використовують інші критерії. При однаковій чисельності вибіркових сукупностей використовується критерій Кохрана, при неоднакових вибірках - критерій Бартлета.

При розрахунку критерію Кохрана (ц) знаходять відношення максимальної дисперсії (із порівнюваних) до суми всіх дисперсій:

сг^ "

сг- +СТ2 + ... + СГ

Одержану величину критерію Кохрана (д_р) порівнюють з табличним значення (д_г) при числі ступенів вільності : у = п -1 (додаток 10).

Якщо д_р > я_т , нульова гіпотеза відхиляється. Тобто дисперсії визначаються неоднорідними, оскільки їх відмінність істотна.

Із критеріїв, що використовуються для перевірки гіпотези про однорідність дисперсій, найпотужнішим визнано критерій. Бартлета (М). Як і за допомогою критерію Кохрана, критерієм Бартлета оцінюється істотність відмінності кількох дисперсій. Теоретичною основою використання даного критерію є припущення про нормальність розподілу ознак у досліджуваних сукупностях.

Суть розрахунку критерію М полягає в порівнянні зваженої середньої арифметичної і середньої геометричної із дисперсій. Якщо порівнювані дисперсії рівні, то середня арифметична і середня геометрична із дисперсій збігатимуться.

Обчислюють середню арифметичну зважену (сг²) і середню геометричну (о-²) із дисперсій, що порівнюються :

°^{а =}~|>Г. а;² = ² $ ?г((сг,²)")

Введений в статистику критерій Бартлета (М) для перевірки рівності дисперсій являє собою відношення:

М = 1п== Xпі .

сг'

Після перетворення натуральних логарифмів в десяткові формула має вигляд : М=2,3026 (^о-а£п_л пі^сг² ).

Якщо прийняти відношення -, де

пі У пі

С = 1 +-,

3(т -1)

то його розподіл відповідає розподілу критерію Хі - квадрат (х²) з числом ступенів вільності, рівним Р-1 (Р - кількість дисперсій, які порівнюються). Тому критичні значення критерію М знаходять за стандартними математичними таблицями розподілу х² при обраній довірчій імовірності (Р) і числу ступенів ВІЛЬНОСТІ у = Р -1.

Для прикладу розглянемо вибіркові сукупності господарств трьох регіонів за оплатою людино - дня. Вибірки характеризується

такими даними : щ = 90; и₂ = 100 ; и₃ = 120;ст₁² = 25,16ст₂² = 24,10; ст₃² = 23,00 .

Для перевірки нульової гіпотези істотності відмінностей дисперсій, отриманих із неоднакових вибірок, обчислюють такі параметри:

о-;² (25,16 х 90 + 24,10 х 100 + 23,00 х 120) :310 = 23,98;

= ^23,98 = 1,3799 ;

£и%ст² = 90^25,16 +1001^24,10 +1201§23,00 = 427,667 ;

М = 2,3026(427,769) = 0,2349 .

у і___к_ 1_ J___1_

С = 1 ₊ ^Лі ^ ^Лі = 1 ₊ ^{90 +100 + 120} " ³¹⁰ ₌ 1 ₊ ^-V⁰².^6- ₌ 1,-437 3(т -1) 3 х 2 6

Розрахункова величина критерію Бартлета дорівнюватиме :

М 0 2349

- = ^0,2349 = 0,234 .

С 1,00437

За стандартною математичною таблицею значень х¹ при порозі імовірності Р=0,95 і числі ступенів вільності у = 3 -1 = 2 знаходимо критичні значення х²= 6,0 (додаток 7) .

Оскільки х²_Р < ( 0,234 < 6,0), робимо висновок про неістотну відмінність в дисперсіях . Тобто, відмінності вибіркових дисперсій є випадковими, а, отже, результати спостережень не суперечать гіпотезі, що перевіряється.

Резюмуючи розгляд питань про критерії згоди, необхідно пам'ятати такі особливості використання їх в аналітичній роботі. По-перше, при порівнянні емпіричного розподілу з тим чи іншим завжди мається на увазі не вибіркова сукупність, а генеральна. Вибірка тут характеризує генеральну сукупність, а тому висновки про значимість чи невірогідність відмінностей в розподілах відносяться до генеральної сукупності. По- друге, при трактовці понять "значимість" і "невірогідність" потрібно пам'ятати, що відсутність значимих розбіжностей між емпіричним і теоретичним рядами розподілу ще не значить, що емпіричний розподіл ( у генеральній сукупності) в точності слідує шуканому закону розподілу. Факт відсутності значимих розбіжностей дає можливість признати емпіричну сукупність як сукупність, розподілену за відповідним законом, що не одне і те ж.

Використовуючи досить простий за своєю конструкцією критерій ламбда, потрібно дотримуватися умови його використання -достатнє число одиниць спостереження. До оцінки нечисленних вибірок критерій згоди Колмогорова неприйнятний.